円周角の定理、なんだか難しそう…と感じていませんか？
この記事では、円周角の定理の基本的な考え方から、多くの人が間違えやすい問題まで、atama＋の学習データをもとにわかりやすく解説します。
円周角の定理とは
まずは基本からおさえましょう。
円\(\mathrm{O}\)の円周上に2点\(\mathrm{AB}\)をとるとき、次の図の角度を弧\(\mathrm{AB}\)に対する中心角、円周角といいます。
弧\(\mathrm{AB}\)に対する中心角：\(\mathrm{\angle AOB}\)
弧\(\mathrm{AB}\)に対する円周角：弧\(\mathrm{AB}\)を除く円周上の点を \(\mathrm{P}\) としたときの \(\mathrm{\angle APB}\)
1つの弧に対する円周角には、次の性質があります。
- 1同じ弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の大きさの半分である。
- 同じ弧に対する円周角の大きさはすべて等しい。
特に、弧が半円の場合、その円周角は常に90°になります。半円の弧に対する中心角は180°なので、円周角はその半分の90°になるためです。
円周角の定理の基本問題にチャレンジ！
まずは、基本がしっかり身についているか確認してみましょう。
（正答率 約88%）
下の図において、線分\(\mathrm{BC}\) は円 \(\mathrm{O}\)の直径です。 \(x\)の値を求めなさい。
【問題①の解説】
正解： \( x=36^\circ\)
線分\(\mathrm{BC}\) は円\(\mathrm{O}\)の直径なので、弧\(\mathrm{BAC}\)は半円の弧です。
半円の弧に対する円周角は \( 90^\circ \) なので、\(\mathrm{\angle BAC = 90^\circ}\)となります。
三角形\(\mathrm{ABC}\)の内角の和は \( 180^\circ \) なので、
\( x + 54^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
\( x = 180^\circ - 54^\circ - 90^\circ \)
\( x = 36^\circ \)
（正答率 約84%）
下の図において、\(x\)の値を求めなさい。
【問題②の解説】
正解：\( x = 85^\circ \)
同じ弧\(\mathrm{AD}\)に対する円周角は等しいので、\(\mathrm{\angle ABD=\angle ACD=17^\circ}\)
次に，三角形\(\mathrm{ABE}\)に着目します。
三角形の外角は，それに隣り合わない2つの内角の和に等しいので，
\( x = \mathrm{\angle BAE + \angle ABE}\)
\( x = 68^\circ + 17^\circ \)
\( x = 85^\circ \)
円周角の定理の逆とは
「円周角の定理の逆」も、図形問題を解く上で非常に強力なツールです。円周角の定理の逆: 2点\(\mathrm{C, D}\)が直線\(\mathrm{AB}\)について同じ側にあり、\(\mathrm{\angle ACB=\angle ADB}\)ならば、4点\(\mathrm{A, B, C, D}\)は同一円周上にある。
つまり、ある直線に対して同じ側にあり、同じ大きさの角をつくる2点があれば、それら4点はすべて同一円周上にある、ということです。
円周角の定理の逆を使う応用問題にチャレンジ！
ここでは、atama＋の膨大な学習データの中から、特に多くの中学生が苦戦している問題を紹介します。ぜひ挑戦してみてください！
（正答率 約39%）
下のア〜ウの図のうち，4点\(\mathrm{A, B, C, D}\)が同じ円周上にある図形をすべて選びなさい。
【問題③の解説】
正解：イ、ウ
この問題では、「円周角の定理の逆」を使います。選択肢ごとに確認しましょう。
＜アの場合＞
三角形\(\mathrm{BCD}\)の内角の和が\( 180^\circ \)であることから，\(\mathrm{\angle BDC=180^\circ-(30^\circ+90^\circ)=60^\circ}\)
\(\mathrm{\angle BAC = 50^\circ}\)なので，\(\mathrm{\angle BAC \neq \angle BDC}\)
よって，4点\(\mathrm{A, B, C, D}\)は同じ円周上にありません。
＜イの場合＞
三角形\(\mathrm{ABC}\)の内角の和が\( 180^\circ \)であることから，\(\mathrm{\angle DBC=180^\circ-(90^\circ+25^\circ)=65^\circ}\)
\(\mathrm{\angle DAC = 65^\circ}\)なので，\(\mathrm{\angle DBC = \angle DAC}\)
よって，4点\(\mathrm{A, B, C, D}\)は同じ円周上にあります。
＜ウの場合＞
\(\mathrm{\angle ABC=\angle ADC=90^\circ}\)
これは，線分\(\mathrm{AC}\)を直径とする円において，点\(\mathrm{B}\)と点\(\mathrm{D}\)がその円周上にあることを示しています。
よって，4点\(\mathrm{A, B, C, D}\)は同じ円周上にあります。
まとめ
一見複雑に見える図形問題も、以下のような「円周角の定理」「円周角の定理の逆」の基本的な内容を組み合わせることで解くことができます。
- 同じ弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の大きさの半分である
- 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい
- 円周角の定理の逆：2点\(\mathrm{C, D}\)が直線\(\mathrm{AB}\)について同じ側にあり、\(\mathrm{\angle ACB = \angle ADB}\)ならば、4点\(\mathrm{A, B, C, D}\)は同一円周上にある
これらのポイントをしっかりおさえて、たくさんの問題に挑戦してみてください。最初は難しく感じるかもしれませんが、パターン演習を重ねれば必ず解けるようになります。円周角の定理をマスターして、図形問題を得意分野にしましょう！
もし「一人ではどうしても解き方が思いつかない」「基礎からしっかり積み上げたい」と感じたら、ぜひatama＋塾・atama＋オンライン塾にご相談ください。AI教材「atama＋」を使って、数学の力を効率的に身につけることができます。詳しい情報や無料体験をご希望の方は、以下のリンクからお問い合わせください。
{{Posts-CTA}}
.svg){kind=logo}
.svg){kind=logo}